二次函数y＝ax2＋c的图像性质
一、教学背景分析
1、教材分析
人教版教科书把《二次函数》安排在九年级下册第一章，二次函数的学习是从（1）通过具体实例认识这种函数——建立二次函数模型；（2）探索这种函数的图象和性质——二次函数的图像与性质；（3）探索这种函数与相应方程等的关系；利用这种函数解决实际问——二次函数的应用。.以上3个方面展开的. 首先让学生认识二次函数，探究并掌握二次函数的图象和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法，最后让学生运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题.
在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，由于涉及向左或向右平移引出了加减问题，学生在此容易混淆，尽管借助多媒体让学生结合图象形象地看到在x后面如果是加就是向左平移的，反之就是向右平移，但是还是有一部分同学混淆了。湘教版的教材中在学习二次函数y=ax2和二次函数y=a（x-h）2的图象后，没有二次函数y=ax2+c的图象，而是直接探究函数y=a（x-h）2+k的图像，但是根据学生作图的速度和理解的能力，一节课完成两种类型的函数有一定的困难，事实证明教学效果不是很好。所以我们根据学生的实际情况进行灵活处理。我们请来了几个老教师，结合新人教版，增加了二次函数y=ax2+c的图象这一个内容
2、学情分析
九年级的学生已具有了一定的分析问题的能力和逻辑推理的能力，他们勤于动手、乐于探究、有较强的表现欲，同时也具备了一定的归纳总结、表达的能力，因此，在教学中更应体现学生的主体地位，让学生动手、动脑，培养他们自主探索、勇于实践的能力。通过合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的。
3、重点难点：
学生已经学过了二次函数y=ax2和二次函数y=a（x-h）2的图象，根据学生作图的速度和理解的能力我们把如下内容设为重点和难点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
[突出重点的措施]
1、通过比较二次函数y=x2与 +1、 -1的图象,让学生感受二次函数y=x2+c的图象的性质，同时体会对比及由特殊到一般的思想.。
2、通过操作、思考，组织学生动手操作、合作交流，培养学生归纳、总结的能力。
[突破难点的措施]
1、通过设计“知识回顾”这一环节，让学生回顾二次函数y=ax2的增减性,为归纳二次函数y=ax2+c的增减性作铺垫。
2、让学生用列表描点法画形如二次函数y=ax2+c图象,使学生进一步从图象上认识此类二次函数的性质,体会数形结合的思想方法。
3、借助多媒体演示图像的上下平移与学生的自主探索、合作交流,形成生动的课堂氛围。
二、教学目标设计
《新课标》要求注重教学过程，给学生时间和机会让学生探索结论，在新课教学过程中渗透数学思想方法的培养和能力的逐步提高，引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，获得情感、态度、价值观方面的体验。因而我们设计了如下教学目标：
知识与技能
1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋c的图象。
2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。
过程与方法
经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感、态度与价值观
1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
三、教法设计
为达到以上教学目的，在教学上主要采用了操作、观察、合作交流、尝试、归纳等方法，并结合多媒体演示，激励学生积极参与，在知识的发生、发展中渗透对比及数形结合的数学思想，学生通过操作、观察、思考、归纳、尝试、交流等一系列探究活动，层层推进，环环相扣，体现数学的严密性与系统性。
四、课堂结构设计
教学过程是师生互相交流的动态过程。从学生的认知特点来看，这一阶段的学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强。因此，在学习中，应鼓励学生动手操作，自己观察，进行小组讨论和交流，使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。同时，师生共同归纳总结，体验学习。为此我们将课堂结构分为以下结构环节：
（一）温故而知新
师：同学们，填一填：二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x2当x＝______时，取最______值，其最______值是______。二次函数y＝-x2呢？
师：二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
师：你将采取什么方法加以研究?
生：(画出函数y＝x2+1和函数y＝x2的图象，并加以比较)
（二）合作交流 探究
二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系
活动1
画二次函数y=x2与y＝x2＋1的图象
教学要点
1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2的图象
.师：同学们能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象吗?画一画。
师引导学生采用列表描点法画出图象。（1）列表（2）描点（3）连线
（培养学生的画图能力以及严谨的学习态度。）
为了节省时间，教师可以提示学生按如下表格列表：
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x |
… |
－3 |
－2 |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
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y＝x2 |
… |
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y＝x2＋1 |
… |
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师：为什么两个函数自变量x可以取同一数值？为什么不必单独列出函数y＝x2＋1的对应值表？
2．教师借助多媒体呈现出解题过程与学生所列表格及图像进行比较。
解：(1)列表：
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x |
… |
－3 |
－2 |
－1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
|
y＝x2 |
… |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
… |
|
y＝x2＋1 |
… |
10 |
5 |
2 |
l |
2 |
5 |
10 |
… |
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2和y＝x2＋1的图象。
（图象略）
3.让学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？
师：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?
让同座学生归纳得到：当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1。
师;反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?
活动2
观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，探究函数y＝x2与y＝x2＋1的图象之间的关系
教学要点
1. 先让学生观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)位置关系，
2. 让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
3.教师借助演示平移过程，验证同学们的观察结果
4.函数y＝x2＋1和y＝x2的图象有什么联系?
同学们在已有的知识基础上能够马上说出：函数y＝x2＋1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的。
（引导学生认真观察积极思考，让学生充分感受到解决问题带来的愉悦。）
活动3
观察函数y＝x2＋1的图像，探究函数y＝x2＋1的图象性质
教学要点
1. 先让学生观察函数y＝x2＋1的图像，说一说它的图像有什么特征和性质？你是怎样得到的？
2.填一填：已知函数y＝x2＋1完成填空：
二次函数y＝x2＋1的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x2＋1当x＝______时，取最______值，其最______值是______
活动4
画二次函数y=x2与y＝x2-2的图象探究函数y＝x2-2的图象性质
教学要点
1.你能在同一坐标系中作出二次函数y=x2-2的图象与二次函数y=x2的图象吗？作图看一看 (在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；)
2.二次函数y＝x2－2的图象与二次函数y＝x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
（让学生发表意见，归纳为：函数y＝x2－2的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向下平移两个单位得到的。函数y＝x2－2与函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同；
3.教师借助多媒体呈现解题过程与同学们的加以比较，演示验证他们的猜想。
4. 让学生口答函数y＝x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；
5.这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－2。
活动5
画二次函数y=-x2-1与y＝-x2+1的图象，探究函数y＝-x2-1与y＝-x2+1的图象性质
教学要点
1.在同一坐标系中作出二次函数y＝-x2-1与y＝-x2+1及y＝-x2的图象.
2. 二次函数y＝-x2-1与y＝-x2+1及y＝-x2的图象之间有何关系？它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?性质呢？
3.教师借助多媒体呈现解题过程与同学们的加以比较，演示验证他们的猜想。
4. 让学生口答函数y＝-x2－1与y＝-x2+1的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0, 1）,(0，－1)；
5.这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝1，y=-1。
活动6
归纳二次函数y=ax2+c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系
教学要点
1. 分组合作交流
2. 教师借助多媒体呈现表格，小组代表完成表格
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y= ax2+c (a≠0) |
a>0 |
a<0 |
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开口方向 |
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顶点坐标 |
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对称轴 |
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增 减 性 |
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极值 |
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关系： |
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（三）巩固练习
例题 说出函数y＝－x2＋3与y＝－x2的图象和函数y＝－x2-2与y＝－x2的图像有什么关系? 他们的开口向，对称轴、顶点坐标、及增减性分别是怎样的？你能发现图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
（先学生独立解答，后师生合作）
（四）随堂练习
1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
2）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。
3）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（五）小结收获
教学要点
1学生谈谈自己的收获
2.知识拓展
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）
（六）布置作业
A组题
1)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
2）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
B 组题
二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .
（七）结束寄语
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装知道.
五、教学评价
1.在整节课的学习中，对学生的情感与态度的评价，除了基本要求以外，我更着重于学生是否自主探究和在分组交流时积极地表现；对学生能力的评价，则体现在动手操作的敏捷性和是否大胆质凝；对学生学习效果的评价，是从对结论的探索过程、方法是否有了进一步的认识。
2.在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个问题。
3.本课题采用“自主探究”式教学模式，引导学生实验、总结规律。老师运用几何画板作出二次函数图像和平移的动画，用来与学生的探究结果进行比较和演示，生动形象，激发学生的学习兴趣。
4.在教学活动中，通过组织学生积极参与和教师的有效指导，实现知识能力、过程和方法、情感态度和价值观三维目标的全面落实。
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