探索勾股定理  教学案例分析与反思

             丁俊卿

在教学中，设法使学生在接受数学知识的过程中，融入主动的探究、发现等活动，让学生有机会通过自己的归纳概括获取知识，让学生感受到数学来自生活，数学就在身边，数学就在自已的手中。以下教学案例就是在新课程标准下的一个尝试。

教材分析：

这节课是九年制义务教育初级中学教材浙教版八年级第二章第六节《探索勾股定理》第 一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

教学目标：

1、    学习掌握勾股定理及内容，并能进行简单证明。

2、    培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认识规律。

教学重点：  勾股定理的证明和应用。

教学难点：  拼图、用计算面积的方法证明勾股定理。

教学方法:

1、教师教法： 引导发现、尝试指导、实验探究相结合。

2、学生学法： 积极参与、动手动脑与主动发现相结合。

师生互动活动设计：

教学过程:

1创设情景，引入新课

师：（结合动画讲故事）西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等 于多少?周公摇头不知道。

同学 们，你们猜猜是多少？

生：5！

生：不知道！

师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）

师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中 的三条边长之间还真有一种特殊的关系。同学们也来算一算、猜一猜看，它们之间到 底有什么样的关系呢？

生：3²+4²=5²、6²+8²=10²

师:这是两组特殊数字，但由此引发一个有待我们深入思考的问题，看哪位同学有新问题要提？

生：一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？

师：这个问题提得好！我们用几何画板再做一个直角三角形来多实验几次 ，请注意观察。（任意改变三边的长，度量、计算显示相等关系依然不变。）

师：通过实验，可以得到什么结论？（或问同学们发现直角三角形的三边有什么样的关系？）请同桌商量讨论后把你们的结论用文字语言或数学式子表达出来。

生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。

即   a²+b²=c²

师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。首先我们要明确，在什么图形中要证明什么结论？

生：在直角三角形中证明a²+b²=c²

师：怎样证明呢？（学生茫 然）这个问题是有点难度，让我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？

生：表示直角三角形的三条边长。

师：a²、b²、c²是边长的平方，由边长的平方可联想到什么图形？

生：正方形。正方形的面积。

师：对整个等式你们怎样理解？

生：等式可 以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。

师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的 游戏，看能不 能对我们证明结论有些帮助。

（这一环节利用故事情节引入，是为了引起学生的注意，激发学 生的学习兴趣，调动学生满腔热情地投入学习过程。在问题情景中引导学生提问，是为了培养学生问问题的意识，让学生主动地带着问题 在实验的过程中去感受数学的再发现。）

2、动手拼图，合作探索定理证明方法

师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。

（这里充分利用了初中学生的好奇心和好胜心,给静态知识注入了活力，同时在课堂上增添了观察、探究等可形成能力的新因素。这样不仅可以调动学生的已有经验，沟通相关知识，而且还能培养学生观察、动手实践的能力。另外，在整个拼图过程中，学生自始至终处于主体位置上，老师只是他们的学习合作伙伴，在巡视的同时，给个别小组以适当指导。这样的设计体现了数学活动的教育思 想，有利于学生在建构的环境中，真正主动的建构自己的理解。）

待各组同学基本完成后，挑选出一组拼图和同学们共同分析：
         

师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？

生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。

生：这两个正方形的面积相等。

师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a²+b²=c²？请试一试。

师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。

生甲：证明 ： ∵两个正方形的面积相等，

∴4×(ab÷2)+a²+b²=4×(ab÷2)+c²

∴a²+b²=c²

生乙：证明 ： ∵(a+b)²=4×(ab÷2)+c²

∴a²+2ab+ b²=2ab+ c²

∴a²+ b²= c²

（证明逐步深入，是为了启发 学生把形的问题转化为数的问题，联想到用计算面积的方法证明a²+ b²= c²，从而突破教学难点。）

师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？

生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。

生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。

师：说得非常好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各 种不同的图形来证明勾股定理。美国第十二任总统伽菲尔德有一天外出散步，遇到两个伏在石板上冥思苦想的男孩，总统上前问他们遇到了什么麻烦？一男孩说：“先生，您知道怎样证明勾股定理吗？”总统一时语塞，无法解释，于是匆忙回家研究，得出了拼直角梯形证明勾股定理的方法。（多媒体展示拼图）按这个拼图也能证明勾股定理吗？请试试看。

生：根据拼图，用两种方法计算梯形的面积就能证明勾股定理。

师：对！这种 思路很好。证明勾股定理的方法很多，有兴趣的同学课后可以上网查询相关资料，也可以尝试拼出不同的图形对勾股定理给予证明。

（多媒体展示拼图，提供网址。启发学生一题多证，多题归一是为了培养学生思维的灵活性和创新性。）下面我们来看看勾股定理能帮助我们解决什么问题？

3课堂练习

（1）在Rt△中，∠C=90°，BC=a ,AC=b,AB=c

(a) 已知a=1，b =2， 则c=    

(b) 已知a=15，c=17，则b=    

(c) 已知c=25，b= 15，则a =   

（2）一个底边长为6，腰长为5的等腰三角形，求底边上的高和面积 。

（3）李明上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B， 但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？（这是一道与生活实际贴近的开放题，鼓励学生用所学知识解决实际问题，培养学生应用数学的意识。）

4小结 

师：通过以上练习，同学们可以感受到勾股定理有什么作用？

生：用勾股定理可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。

师：说得非常好！在这一节课中，你们还学会了什么？

生：通过拼图学会了用计算面积的方法证明勾股定理。

师：同学们总结得非常好！勾股定理的应用非常广泛，它是联系数学中数与形的第一个定理，是数形结合思想的最初体现，自从我国古代数学家发现勾股定理后，它对数学产生了巨大的作用和影响，我们不仅要为之自豪，更要切实学好它。

【教学反思】

学校课堂教学中学生的创新活动，绝大多数不是一种发明创造，而是创新 素质的表现和培养过程. 学生的创新活动得到什么结论是次要的，重要的是使学生的创新素质得到培养，这是中学数学课堂教 学创新教育的价值取向.

本节课的教学过程由激趣、质疑、实验、活动、探法、交流、延伸七个步骤构成.

本节课的成功之处：

1、故事激趣收到了良好效果，学生产生了质疑意识，教师顺势利导，提出问题，紧扣了中心。

2、由于实现了教师角色的转变，教法的创新，师生平等，关系融洽，气氛活跃，课堂民主，学生积极参与，在他们心底涌现了一股浓浓的学习欲望.

3、面向全体学生，以 人为本的教育理念落实到位，主体性得到充分体现.由于实现了学生角色的转变，学法的创新，整节课几乎都是学生自主实验、自主 探索、自主完成由形到数的转化，学生的主动性及合作精神都体现出来了。教师只是作为他们的一分子参与研究，起组织、引导的作用.

4、通过动手实验，并经推理论证，学生取得了勾股定理的新证法研究成果，一些新思路延伸到课外研究。

5、研究成果不仅极大地丰富了学生对勾股定理的证明的认识，而且学生从中获得了利用已知探求未知数学知识的能力和方法，创新素质得到了培养和提高，这对学生今后的学习和将来的发展 是大有裨益的。

【教学评析】

这节课主要采用讲、看、思、问、做等多种教学手段，通过激趣、质疑、实验、活动、交流等环节，围绕如何培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，进行了很有价值的探索。

本节课的教学活动分以下几个阶段进行：第一阶段是教师讲述“折尺的学问”的故事引入新课，以激发兴趣，鼓励质疑，意在培养学生的探究意识。———交流收获，，第二阶段是通过计算猜测、实验探究直角三角形三边之间的关系，学生总结勾股定理的证明方法和步骤。第三阶段是拼图验证再发现的结论。此时，学生的兴趣大增，利用学具独立或分组进行拼图实验。更加强了学生的创新思维、创新技能、创新情感和创新人格的培养。第四阶段是随堂训练掌握定理的基本应用。第五阶段是归纳小结 ，教师在充分肯定学生取得成绩的同时，再次引导学生将研究延伸到课外。

总之，本节课之所以取得令人满意的教学效果，是因为教师树立了新的教育观念，转变了教师角色，将以育人为本的理念落到实处；师生平等，课堂民主；教法创新，精心设计和准备，科学的 组织和安排，合理使用了多媒体教具和学具。