二次函数的图象和性质

          冀志强

(一)知识与能力

1、会用列表描点法画二次函数y=ax²的图象。

2、结合二次函数y=ax²的图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及y随x的变化情况。

(二)过程与方法

1、学生尝试去发现二次函数的图象特征。

2、在画图象过程中充分引导学生有目的的观察，体会其性质。

(三)情感、态度与价值观
1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。

2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。

教学重点、难点

（一）教学重点

二次函数y=ax²的图象及其性质。

[突出重点的措施]

（二）教学难点

1、从图象的“走势”看图象特征，用函数的观点解释这一特征，并有条理地表达二次函数的图象的性质。

2、渗透数形结合的数学思想方法。

教学策略

（一）教法:

在教学上主要采用了操作、观察、合作交流、尝试、归纳等方法，并结合多媒体演示，激励学生积极参与，在知识的发生、发展中渗透对比及数形结合的数学思想，学生通过操作、观察、思考、归纳、尝试、交流等一系列探究活动，层层推进，环环相扣，体现数学的严密性与系统性。

（二）学法

教学过程是师生互相交流的动态过程。从学生的认知特点来看，这一阶段的学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强。因此，在学习中，应鼓励学生动手操作，自己观察，进行小组讨论和交流，使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。同时，师生共同归纳总结，体验学习。

教学过程

知识回顾

1、师：请同学们回顾二次函数y=x²和 y=-x² 的图象有哪些特征？

停顿片刻，引导学生思考。

学生容易从开口方向、对称轴、顶点坐标三个方面加以描述，即二次函数y=x²和y=-x² 的图象都是抛物线,开口向上或向下,对称轴都是 y 轴,顶点都在原点（0，0）.

2、观察图象,回答下列问题：

⑴当x为何值时,图象从左到右呈上升趋势?当x为何值时,图象从左到右呈下降趋势?

停顿片刻，引导学生思考。

学生通过观察图象的走势容易得出结论：图①中，当-4＜x＜0时图象从左到右呈上升趋势，当0＜x＜2时图象从左到右呈下降趋势；图②中，当-3＜x＜-1时图象从左到右呈下降趋势，当-1＜x＜2时图象从左到右呈上升趋势。

⑵当x为何值时,y随x的增大而增大?当x为何值时,y随x的增大而减小?

这一结论你是如何得到的?

师引导学生思考：如何用函数的观点解释问题⑴中图象的走势？

由于学生已经学习了一次函数与反比例函数图象的增减性，因此这一问题学生不会觉得很困难。

⑶你能说出图①的最高点的坐标吗？图②的最低点的坐标呢？

师引出课题：这节课我们继续探索、研究二次函数y=ax²的图象特征。

操作、思考

问题1

画二次函数y=2x²的图象。

师引导学生采用列表描点法画出图象。

（1）列表（2）描点（3）连线

（培养学生的画图能力以及严谨的学习态度。）

问题2

二次函数y=2x² 的图象有什么特征？你是怎样判断的？

停顿片刻,引导学生思考。

生：二次函数y=2x² 的图象是一条抛物线，且开口向上，对称轴是y轴，顶点在原点（0，0）.

师：你还有其他发现吗？

组织学生分组讨论、交流。

师：观察图象何时呈上升“走势”？何时呈下降“走势”？图象上升与下降的分界点位于何处？

学生归纳：当x＜0时, y随x的增大而减小;

当x＞0时, y随x的增大而增大.

当x=0时, y的值最小,最小值是0.

教师适当点评。

问题3

画二次函数y=-2x²的图象。

师引导学生采用列表描点法画出图象。

（1） 列表（2）描点（3）连线

问题4

师:二次函数y=-2x² 的图象有什么特征？你是怎样判断的？

停顿片刻,引导学生思考。

生：二次函数y=-2x² 的图象是一条抛物线，且开口向下，对称轴是y轴，顶点在原点（0，0）。

师：你还有其他发现吗？

师：观察图象何时呈上升“走势”？何时呈下降“走势”？图象上升与下降的分界点位于何处？

在问题2的基础上，学生通过讨论、交流容易归纳出结论。

学生归纳：当x＜0时,y随x的增大而增大;当x＞0时,y随x的增大而减小.当x=0时,y的值最大,最大值是0.

问题5

师:刚才我们画出了二次函数y=2x² 、y=-2x² 的图象，上节课我们还画出了二次函数 的图象。那么二次函数 与二次函数 的图象有哪些共同点和不同点？

导学生思考并与同桌交流。

生：图象的共同点是：图象都是抛物线，对称轴都是y轴，顶点坐标是（0，0）。

图象的不同点是：二次函数的图象开口向上，当x＜0时, y随x的增大而减小，当x＞0时, y随x的增大而增大，当x=0时, y的值最小,最小值是0；二次函数 的图象开口向下，当x＜0时,y随x的增大而增大，当x＞0时,y随x的增大而减小。当x=0时,y的值最大,最大值是0。

归纳

师：通过上面的探究，同学们能归纳二次函数y=ax²的图象的性质吗？

学生经历了问题1至问题5的操作、观察、思考，进一步感受了二次函数y=ax²的图象特征，因此容易归纳二次函数y=ax²的图象的性质如下：

⑴顶点在原点（0,0）.

⑵对称轴是 y 轴.

⑶当a＞0 时,抛物线的开口向上;当a＜0 时,抛物线的开口向下.

⑷如果 a＞0 ,那么当x＜0 时, y 随 x 的增大而减小;当x＞0时, y 随 x 的增大而增大;当x=0时, y 的值最小,最小值是0.

⑸如果 a＜0 ,那么当x＜0时, y 随 x 的增大而增大;当x＞0时, y 随 x 的增大而减小;当x=0时, y 的值最大,最大值是0.

尝试、交流

1、函数y=3x²的图象开口____,对称轴是____,顶点是____;在对称轴的左侧,y随x的增大而_____，在对称轴的右侧,y随x的增大而_____。

2、函数y=-3x²的图象开口_____,对称轴是_____,顶点是_____;在对称轴的左侧, y随x的增大而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____。

（设计“尝试、交流”有两个意图：1、及时巩固所学知识，加深学生对二次函数y=ax²的图象性质的理解。2、通过问题的解决使学生获得成功的喜悦，感受数学学习的价值。）

例 题

已知二次函数y=ax²的图象经过点A（-2，-8）.

（1）求这个二次函数的关系式.

（2）判断点B（-1，- 4）是否在二次函数的图象上.

（3）说明这个函数的增减性.

分析：要求二次函数的关系式，只要将点A的坐标代入y=ax²即可，学生易求出这个二次函数的关系式为y=-2x² ； 判断一个点是否在二次函数的图象上，实际上就是验证点B的坐标是否满足方程y=-2x²；由于图象开口向下，因此当x＜0时,y随x的增大而增大，当x＞0时,y随x的增大而减小。

小结与思考

师:1、本节课主要学习了哪些知识？

2、在学习中应用了哪些重要的思想方法？

3、你对本节课还有哪些收获？

教师首先组织学生讨论并小结本节课的内容，师作适当点评。最后师生共同总结如下：

基础知识：

⑴归纳二次函数y=ax²的图象特征.

⑵根据题设条件用待定系数法确定二次函数的关系式.

基本思想方法：

⑴根据图象研究性质,体现了数形结合的思想方法.

⑵y=x² 、y=-x² y=ax²体现由特殊到一般的思想。

问题思考：

如图,A、B分别为y=x²上两点,且线段AB⊥y轴，

若AB=6，试求点B的坐标.

教学反思：

本节课主要研究二次函数y=ax2的图像与性质，主要运用了由特殊到一般的辩证唯物主义观点，二次函数y=x²、y=-x²的图象和性质最终得到二次函数y=ax²的图象的性质，运用数型结合思想学习二次函数和以前学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程及方程组有着密切的联系，在教学中体现学生的主体地位，让学生动手、动脑，培养他们自主探索、勇于实践的能力。通过合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的。